الجمعة، 10 ديسمبر، 2010

بسم الله الرحمن الرحيم ..


الرياضيات المتقطعة (بالإنجليزية: Discrete mathematics) أو تدعى أيضا الرياضيات المتناهية أو
الرياضيات المحددة (finite mathematics), هي دراسة البنى الرياضية التي تكون متقطعة أساسا, بمعنى
أنها لا تستدعي وجود صفة الاتصال ولا تتطلبه لكي تدرس هذا الموضوع.

معظم الموضوعات التي تدرسها الرياضيات المتقطعة ترتبط بمجموعات عدودة (قابلة للعد) countable sets
(و هو مفهوم مغاير تماما لمفهوم المجموعات المنتهية)، أحد أمثلته : مجموعة الأعداد الصحيحة integers.

إن المواضيع التي تتم دراستها في الرياضيات المتقطعة هي إما إن تكون محددة أو غير محددة.
وتُستعمل مصطلح الرياضيات المحددة في بعض الأحيان للإشارة إلى حقول الرياضيات المتقطعة
التي تتعامل مع المجموعات المحددة, وخصوصاً في المجالات التي لها صلة بقطاع الأعمال.

اكتسبت الرياضيات المتقطعة شعبية واسعة خلال العقود الأخيرة بسبب تطبيقاتها الواسعة في علوم الحاسب.
فمصطلحات وترميزات الرياضيات المتقطعة مفيدة لدراسة والتعبير عن مسائل الأغراض objects في البرمجة الحاسوبية
والخوارزميات. بعض فروع الرياضيات المتقطعة تفيد أيضا في دراسة بعض مسائل الأعمال والاقتصاد.

تتضمن الرياضيات المتقطعة دراسة الفروع التالية :

    * المنطق - دراسة أساليب الاستنتاج ومعقوليتها.
    * نظرية المجموعات - دراسة مجموعات العناصر
    * نظرية الأعداد
    * توافقيات - دراسة أساليب العد وطرقه.
    * نظرية المخططات
    * خوارزميات - دراسة طرق الحساب
    * نظرية المعلومات
    * هندسة رقمية Digital geometry
    * نظرية التحسيب ونظرية التعقيد - دراسة الحدود النظرية للخوارزميات والحوسبة.
    * مجموعات مرتبة جزئياً Partially ordered sets
    * البراهين
    * العد والعلاقات
    * نظرية الاحتمالات البدائية وسلاسل ماركوف
    * جبر خطي - دراسة المعادلات الخطية المترابطة

الصورة
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/6n-graf.svg

إن الرسوم البيانية مثل الرسمة الموجودة أعلاه هي أحد المواضيع التي تتم دراستها
في الرياضيات المتقطعة, وذلك بسبب خواصها الرياضياتية, وفوائدها في حل مسائل العالم الحقيقي,
وأهميتها في تحسين الخوارزميات الحاسوبية.

----------------------------------------------

قواعد الإشارات ( + ـــ × ÷ ) في الرياضيات

الجمع
(+) +(+) = +
(-) +(-) = -
(+) +(-) = إشارة العدد الأكبر ونطرح

الطرح
(+) - (+) =+
(-) - (-) =-
(-) - (+) =إشارة العدد الأكبر ونطرح

الضرب
(+) × (+) = +
(-) × (-) = +
(+) × (-) = -
(-) × (+) = -

القسمه
(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -

----------------------------------------------

نظريات النقطة الثابتة لـ براور
Brouwer's Fixed Point Theorem


إذا كانت f دالة فإن النقطة x من مجالها والتي تحقق تسمى نقطة ثابتة للدالة. البحث عن حلول بعض المعادلات هو بالضبط البحث عن نقطة ثابتة لدالة ما. فمثلا حل المعادلة هو بالضبط النقطة الثابتة للدالة المعرفة بالقانون .

نظرية (نظرية براور أو براويرBrouwer للنقطة الثابتة) كل دالة متصلة من كرة الوحدة المغلقة في الفضاء إلى نفسها تملك نقطة ثابتة واحدة على الأقل حيث



يعتبر براور أول من اثبت هذه النظرية في عام 1909م على الفضاء ثلاثي الأبعاد وسرعان ما عممت على يد Jacques Hadamard في العام 1910م غير ان النظرية حملت اسم براور لإثباته الذي اتسم بصيغته البنائية بعكس البراهين الأخرى (الغير مباشرة) التي ناقشت مسألة وجود النقطة الثابتة من غير إعطاء أي طريقة بنائية تساعدنا في الاقتراب عمليا من هذه النقطة.
لعل هذه النظرية تعتبر الأشهر من بين نظريات النقطة الثابتة . على مستوى اقل من هذه النظرية لدينا نظرية النقطة الثابتة في الانكماش التي تقوم على أساسها طريقة النقطة الثابتة لإيجاد الحلول العددية في التحليل العددي و لدينا أيضا نظرية النقطة الثابتة على فترة الوحدة وهي حالة خاصة من نظرية براور وإثباتها سهل.


نظرية (نظرية النقطة الثابتة لفترة الوحدة )
إذا كانت دالة متصلة, حيث I هي الفترة , فإن f لها نقطة ثابتة.

الإثبات
عرف الدالة g بالقانون . واضح أن الدالة g متصلة على I. خذ في الاعتبار كلا من . إذا كان
أو
فإن النظرية قد برهنت. فيما عدا ذلك فإنه من خلال معرفتنا بأن في I نستنتج أن
و
أو بصورة مكافئة


إذا الدالة g تغير إشارتها على I وبالتالي يوجد نقطة a من I بحيث تكون وذلك لأن g دالة متصلة. إذا وبذلك تثبت النظرية التي يمكن تعميمها لأي فترة مغلقة ومحدودة.

على مستوى أعلى لعبت نظرية براور دور في عدد من النظريات التي ناقشت مفهوم النقطة الثابتة بعد ذلك ومن هذه النظريات نظرية Kakutani للنقطة الثابتة وتنص على التالي
إذا كانت تطبيق شبه متصل علوي upper semicontinuous من مجموعة S متراصة compact ومحدبة وغير خالية من الفضاء الإقليدي مجموعة المجموعات الجزئية منها وكانت مغلقة ومحدبة وغير خالية لكل فإن تملك نقطة ثابتة على الأقل بمعنى يوجد بحيث
تمديد نظرية براور لابعاد لا نهاية يخفق حينما نحاول محاكاة نفس النظرية في فضاءات لها بناء مماثل لـ وذات ابعاد لا نهائية مثل فضاءات هيلبرت. فضاء هيلبرت لا تتحقق فيه نظرية براور. بشروط اضعف يمكن أن نحصل على نظريات نقطة ثابتة على فضاءات غير منتهية الأبعاد مثل نظرية شودر Schauder fixed point theorem في العام 1930 : إذا كانت دالة متصلة من مجموعة غير خالية ومغلقة ومحدبة C من فضاء باناخ الى نفسها بحيث متراصة فإن f تملك نقطة ثابتة.
ايضا هناك نظرية تيخانوف Tikhonov (Tychonoff) fixed point theorem :
إذا كانت دالة متصلة من مجموعة غير خالية ومتراصة C من فضاء اتجاهي تبولوجي محلي التحدب locally convex topological vector space إلى نفسها فإن f تملك نقطة ثابتة.

----------------------------------------------

لطيفه فهد السنيدي

0 التعليقات:

إرسال تعليق